En 1625 estaba en Hamburgo como estudiante de órgano de Jacob Praetorius (II). Su primer cargo fue como organista en la cercana Mittelnkirchen. Luego fue organista en Altona entre 1630 y 1662, cuando se convirtió en organista de la Jacobskyrka, Estocolmo, Suecia. Se casó con la hermana del poeta Johann Rist.

Pape fue uno de los compositores más prolíficos de la escuela de escritores de canciones de Hamburgo de mediados del siglo XVII. Dejó muchos versículos sacr0os y seculares de Rist, a quien se mantuvo leal cuando la mayoría de los miembros de la escuela de Hamburgo abandonaron el uso de sus poemas: hay 36 composiciones suyas en "Des edlen Dafnis aus Cimbrien Galathée" de Rist (Hamburgo, 1642) y otras 23 más en tres colecciones publicadas entre 1648 y 1652. Dos compositores llamados Heinrich Pape, 'el viejo' y 'el joven', se distinguen en las 15 melodías con que contribuyeron al segundo conjunto de "Liebes-Grillen" de Jacob Schwieger (Hamburgo, 1656 ).

El padre de Pape también se llamaba Heinrich, pero desde su muerte en 1637 'el viejo' debe referirse al propio Pape y ' el joven' a un hijo suyo, que también está representado por ocho canciones en "Des Flüchtigen Flüchtige Feld -Rosen" de Schwieger (Hamburgo, 1655) y del cual nada más se sabe. Una canción 'por Heinrich Pape' está en"Neu ausgeschlagener Liebes- und Frühlingsknospen" de Georg Heinrich Schrieber (Frankfurt, 1664). Las composiciones de Pape sobre los poemas sacros de Rist son inferiores a sus canciones seculares, entre las cuales las publicadas en 1642 son particularmente notables; se ha sugerido que los cantos sacros pueden haber sido obra de otro compositor.